Queste note sono basate sugli appunti fatti con Gianmarco Manzini negli anni 1995-2005

Formule di quadratura

Appunti di calcolo numerico

Autore/Autrice

Affiliazione

Enrico Bertolazzi

University of Trento, Department of Industrial Engineering

Principali formule di quadratura

• \mathcal{E}(g;-1,1) errore su intervallo di riferimento [-1,1]

• \mathcal{E}(f;a,b) errore formula composita su [a,b]

Newton-Cotes chiuse

Regola dei trapezi

Node Weight

x	w
-1	1
1	1

errore su intervallo di riferimento
-\dfrac{2}{3}\cdot g^{(2)}(\omega)

errore formula composita
-\dfrac{1}{12}(b-a)H^2 \cdot f^{(2)}(\omega)

Regola di Simpson

Node Weight

x	w
-1	1/3
0	4/3
1	1/3

errore su intervallo di riferimento
-\dfrac{1}{90}\cdot g^{(4)}(\omega)

errore formula composita
-\dfrac{1}{2880}(b-a)H^4 \cdot f^{(4)}(\omega)

Regola 3/8

Node Weight

x	w
\pm 1	1/4
\pm 1/3	3/4

errore su intervallo di riferimento
-\dfrac{2}{405}\cdot g^{(4)}(\omega)

errore formula composita
-\dfrac{1}{6480}(b-a)H^4 \cdot f^{(4)}(\omega)

Regola di Boole

Node Weight

x	w
\pm 1	7/4
\pm 1/2	32/4
0	12/4

errore su intervallo di riferimento
-\dfrac{8}{945}\cdot g^{(6)}(\omega)

errore formula composita
-\dfrac{1}{15120}(b-a)H^6 \cdot f^{(6)}(\omega)

Regola 6 punti

Node Weight

x	w
\pm 1	\dfrac{19}{144}
\pm 3/5	\dfrac{75}{144}=\dfrac{25}{48}
\pm 1/5	\dfrac{50}{144}=\dfrac{25}{72}

errore su intervallo di riferimento
-\dfrac{22}{590625}\cdot g^{(6)}(\omega)

errore formula composita
-\dfrac{11}{37800000}(b-a)H^6 \cdot f^{(6)}(\omega)

Regola 7 punti

Node Weight

x	w
\pm 1	41/420
\pm 2/3	54/105
\pm 1/3	9/140
0	68/105

errore su intervallo di riferimento
-\dfrac{1}{3061800}\cdot g^{(8)}(\omega)

errore formula composita
-\dfrac{1}{1567641600}(b-a)H^8 \cdot f^{(8)}(\omega)

Newton-Cotes aperte

Regola Midpoint

Node Weight

x	w
0	2

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{1}{3}\cdot g^{(2)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{24}(b-a)H^2 \cdot f^{(2)}(\omega)

Trapezoid

Node Weight

x	w
\pm 2/3	1

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{2}{27}\cdot g^{(2)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{108}(b-a)H^2 \cdot f^{(2)}(\omega)

Regola di Milne

Node Weight

x	w
\pm 1	4/3
0	-1/3

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{7}{120}\cdot g^{(4)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{7}{23040}(b-a)H^4 \cdot f^{(4)}(\omega)

Gauss-Legendre

Formula generale per l’errore locale con m nodi:

\mathcal{E}(g;-1,1) = C_q g^{(2m)}(\omega) \qquad C_q = \dfrac{2^{2m+1}\cdot(m!)^4}{(2m+1)\cdot((2m)!)^3}

Gauss-Legendre 1 punto (midpoint)

Node Weight

x	w
0	2

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{1}{3}\cdot g^{(2)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{24}(b-a)H^2 \cdot f^{(2)}(\omega)

Gauss-Legendre 2 punti

Node Weight

x	w
\pm 1/\sqrt{3}	1

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{1}{135}\cdot g^{(4)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{4320}(b-a)H^4 \cdot f^{(4)}(\omega)

Gauss-Legendre 3 punti

Node Weight

x	w
0	8/9
\pm \sqrt{3/5}	5/9

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{1}{15750}\cdot g^{(6)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{2016000}(b-a)H^6 \cdot f^{(6)}(\omega)

Gauss-Legendre 4 punti

Node Weight

x	w
\pm\dfrac{525-70\sqrt{30}}{35}	\dfrac{18+\sqrt{30}}{36}
\pm\dfrac{525+70\sqrt{30}}{35}	\dfrac{18-\sqrt{30}}{36}

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{1}{3472875}\cdot g^{(8)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{1778112000}(b-a)H^8 \cdot f^{(8)}(\omega)

Gauss-Legendre 5 punti

Node Weight

x	w
0	128/225
\pm\dfrac{245-14\sqrt{70}}{21}	\dfrac{322+13\sqrt{70}}{900}
\pm\dfrac{245+14\sqrt{70}}{21}	\dfrac{322-13\sqrt{70}}{900}

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{1}{1237732650}\cdot g^{(10)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{2534876467200}(b-a)H^10 \cdot f^{(10)}(\omega)

Gauss-Lobatto

Questa quadratura fissa il primo nodo a -1 e l’ultimo a +1. Formula generale per l’errore locale con m nodi:

\mathcal{E}(g;-1,1) = C_q g^{(2m-2)}(\omega) \qquad C_q = -\dfrac{m\cdot(m-1)^3\cdot2^{2m-1}\cdot((m-2)!)^4}{(2m-1)\cdot((2m-2)!)^3}

• 2 punti = regola trapezi.
• 3 punti = regola di Simpson.

Gauss-Lobatto 4 punti

Node Weight

x	w
\pm 1	1/6
\pm 1/\sqrt{5}	5/6

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{2}{23625}\cdot g^{(6)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{1512000}(b-a)H^6 \cdot f^{(6)}(\omega)

Gauss-Lobatto 6 punti

Node Weight

x	w
\pm 1	\dfrac{1}{15}
\pm \sqrt{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3\sqrt{7}}}	\dfrac{1}{30}\left(14+\sqrt{7}\right)
\pm \sqrt{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3\sqrt{7}}}	\dfrac{1}{30}\left(14-\sqrt{7}\right)

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{1}{1031443875}\cdot g^{(10)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{2112397056000}(b-a)H^10 \cdot f^{(10)}(\omega)

Gauss-Radau

Questa quadratura fissa il primo nodo a -1. Formula generale per l’errore locale con m nodi:

\mathcal{E}(g;-1,1) = C_q g^{(2m-1)}(\omega) \qquad C_q = \dfrac{2^{2m-1}\cdot m\cdot((m-1)!)^4}{((2m-1)!)^3}

Gauss-Radau 2 punti

Node Weight

x	w
-1	1/2
1/3	3/2

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{2}{27}\cdot g^{(3)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{108}(b-a)H^3 \cdot f^{(3)}(\omega)

Gauss-Radau 3 punti

Node Weight

x	w
-1	\dfrac{2}{9}
\dfrac{1-\sqrt{6}}{5}	\dfrac{16+\sqrt{6}}{18}
\dfrac{1+\sqrt{6}}{5}	\dfrac{16-\sqrt{6}}{18}

errore su intervallo di riferimento
\dfrac{1}{1125}\cdot g^{(5)}(\omega)

errore formula composita
\dfrac{1}{36000}(b-a)H^5 \cdot f^{(5)}(\omega)